Математика как оптимальный выбор |
Уральскую математическую школу можно
уподобить разросшемуся, хотя и молодому дереву с корнями, уходящими вглубь,
к корифеям российской математики, и мощными ветвями — основными школами,
образующими обширную крону. Сегодня у нас в гостях — член-корреспондент РАН
Александр Георгиевич Ченцов, представитель самой крупной ветви уральской
математики — теории процессов управления во главе с академиком Н.Н.
Красовским. В ИММ УрО РАН он заведует отделом управляемых систем.
Вскоре у Ченцова была готова кандидатская
диссертация, которую Николай Николаевич предложил защищать в Москве, в МИАНе.
На заседании ученого совета присутствовал сам Лев Семенович Понтрягин —
основоположник теории управления. После успешной защиты Александр Георгиевич
по предложению учителя занялся построением метода программных итераций и
аппарата обобщенных квазистратегий.
Вот что он говорит о своих исследованиях того
периода:
— В ранних работах школы Красовского были
построены мощные методы теории программного управления и на их основе
исследовались так называемые регулярные дифференциальные игры, в которых
решение задачи управления по принципу обратной связи непосредственно
извлекалось из более простых задач программного управления. Однако условия
регулярности выполняются не всегда. Для решения нелинейных дифференциальных
игр в общем случае нужно было построить метод итераций, который в пределе
позволял получать требуемые решения без наложения дополнительных условий.
Итерация — это повторное применение какой-либо
математической операции, или правило, универсальная процедура. Известны
случаи, когда требуется бесконечное число итераций, однако в некоторых
нерегулярных дифференциальных играх для построения решения достаточно всего
нескольких. Оказалось также, что метод программных итераций хорошо
согласуется с конструкциями так называемых квазистратегий. Первые работы по
квазистратегиям принадлежат зарубежным математикам Э. Роксину, Н. Кэлтону,
Р. Эллиотту. Я же обратился к квазистратегиям в связи с задачами управления
по принципу обратной связи: было интересно установить эквивалентность двух
формализаций.
На мой дилетантский вопрос, используется ли
метод программных итераций для решения каких-либо прикладных задач,
Александр Георгиевич ответил:
— Метод иногда применяется в вычислительных
операциях, но все же считать им плохо. Лучше использовать его для
качественных выводов, для поиска условий, которые обеспечивают экономное
решение. Как говорит Н.Н. Красовский, теория — это теория, она должна
формировать мировоззрение. А чтобы решить прикладную задачу, теорию
приходится огрублять. Здесь требуется большое искусство.
Свои результаты по методу программных итераций
А.Г. Ченцов опубликовал в «Докладах Академии наук» и в 1977 г. защитил
докторскую диссертацию. Другие математики — член-корреспондент А.А. Меликян,
доктора наук В.И. Ухоботов, С.В. Чистяков — также стали приходить к идеям
итерационных построений. Но работа Ченцова была первой.
В 1981 г. при отделе доктора
физико-математических наук В.Д. Батухтина была создана лаборатория для
решения прикладных задач. Нужен был руководитель, и им был назначен А.Г.
Ченцов. Трудно было начинать все с нуля, да и особого времени на «чистую»
науку не было. Однако его внимание привлекла теория интегрирования по
конечно-аддитивной мере.
— В 30-е годы прошлого века эту теорию
развивали Т. Гильдебрандт и независимо Г.М. Фихтенгольц и Л.В. Канторович, —
говорит Александр Георгиевич, — Несколько позднее последовали глубокие
результаты А.Д. Александрова, Иосиды и Хьюитта, Лидера. Разумеется, это
направление возникло в связи с построением классической теории меры в трудах
французского ученого А. Лебега (эта теория получила затем мощное развитие в
исследованиях Каратеодори, Лузина, Фреше и многих других математиков). На
основе классической теории меры академик А.Н. Колмогоров предложил изящную
аксиоматику современной теории вероятностей, имеющей многочисленные
приложения. Основным постулатом здесь было предположение о счетной
аддитивности меры, используемой при интегрировании. Конечная аддитивность
отвечает менее ограничительному предположению, но и приводит к не столь
изящным, как в теории Лебега, выводам. Более того, возникают и некоторые
патологии.
Конечно-аддитивная версия теории меры
заинтересовала Ченцова в связи с построением расширений неустойчивых задач
управления с импульсными ограничениями. В теории управления эти ограничения
задавались достаточно грубо. Но оказалось, что даже мизерное ослабление
ограничений дает зачастую скачок результата. Выяснить, какие возможности
возникают при упомянутом ослаблении ограничений, позволяет использование
конечно-аддитивных мер. По этой тематике Александр Георгиевич опубликовал
три монографии (одну в соавторстве с С.И. Мориной), они переведены на
английский язык и изданы в США и Голландии. В 1985 г. А.Г. Ченцову и В.Д.
Батухтину в составе авторского коллектива была присуждена Государственная
премия СССР.
В 1986 г., когда Батухтин стал ректором
Челябинского университета, А.Г. Ченцов возглавил отдел управляемых систем.
Его сотрудники занимались прикладными исследованиями, которые в начале 90-х
годов перестали финансироваться. Надо было найти новые направления и новый
круг прикладных задач. Математики занялись задачами маршрутизации.
— Самая известная из них — так называемая
задача коммивояжера, — говорит Александр Георгиевич. — Бизнесмену надо
объехать несколько городов и продать свои товары. Проезд стоит денег,
поэтому он должен выбрать оптимальный маршрут. Вариантов такого выбора очень
много. Если, к примеру, надо объехать 10 городов, то вариантов будет 10!
(десять факториал). Эта очень трудная в вычислительном отношении задача, ее
решение — своеобразный математический спорт, где регистрируются мировые
рекорды. Так, на международном конгрессе в Берлине (1998) группа
американских математиков объявила о решении задачи посещения 13 509 городов.
В Интернете появлялись сведения, что получено решение для 20 тысяч городов,
а сейчас решаются задачи и большей размерности.
На практике возникает много задач, подобных
задаче коммивояжера, но еще более сложных, с различными ограничениями. Так,
в реальности надо зачастую посещать не точки, а множества, а значит,
вариантов становится еще больше. Вот примеры практических задач
маршрутизации: обеспечение экономных космических перелетов в условиях
дефицита топлива в рамках программы очистки околоземного пространства от
космического мусора; оптимальный вариант облета островов архипелага; выбор
наиболее рационального порядка действий человека, вынужденного работать в
экстремальных условиях (например, на атомной станции), чтобы время
нахождения там свести к минимуму. В связи с задачами маршрутизации возникли
задачи о распределении заданий между участниками, в частности актуальная
задача о распределении заданий между процессорами суперкомпьютера.
Сегодня Александр Георгиевич Ченцов продолжает
развивать все три направления, которыми занимался в течение жизни: и метод
программных итераций, и расширения с использованием аддитивных мер, и задачи
маршрутизации. Много у него учебной работы на математико-механическом
факультете УрГУ и на радиофаке УГТУ-УПИ, и эта работа для него очень важна —
надо преодолевать разрыв между поколениями, начавшийся в кризисные 90-е
годы. Тогда многие из его талантливых учеников ушли в бизнес, а математика и
бизнес, по словам Ченцова, вещи несовместные. Зато сыновья Павел и Алексей
защитили кандидатские диссертации по прикладной математике, оба — сотрудники
ИММ. Работают они также в фирме, которой успешно руководит бывший сотрудник
института кандидат физико-математических наук Д.Н. Гайнанов. А отец
Александра Георгиевича Георгий Павлович преподавал механику в авиационном
училище. Так что получается уже династия Ченцовых — одно из ответвлений
уральского математического древа.
|
07.06.06