Красота и целесообразность теории групп |
В конце минувшего года зав. сектором
отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН доктор физико-математических наук
А.С. Кондратьев был награжден премией Российской академии наук имени
академика А.И. Мальцева за цикл работ по теории конечных групп и их
представлений. Анатолий Иванович Мальцев — выдающийся российский математик,
ученик академика А.Н. Колмогорова, специалист в области современной алгебры,
математической логики и теории алгоритмов, создатель крупной школы алгебры и
логики в Институте математики Сибирского отделения РАН. Премия имени А.И.
Мальцева присуждается раз в три года, среди лауреатов — директор Института
математики имени С.Л. Соболева СО РАН академик Ю.Л. Ершов, декан
математического факультета Новосибирского государственного университета
член-корреспондент С.С. Гончаров, доктора физико-математических наук В.П.
Шунков (Красноярск), А.Ю. Ольшанский (Москва), А.В. Яковлев (Санкт-Петербург).
Анатолий Семенович Кондратьев стал первым уральцем — лауреатом престижной
академической награды.
Стихийно группы применял еще Ж. Лагранж (1771).
Систематическое изучение групп, в основном конечных, относится к началу XIX
века. Это были группы подстановок корней алгебраических уравнений, или, как
их теперь называют, группы Галуа. Именно Эварист Галуа (1830) заметил связь
старинной проблемы о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах с
вопросами о строении их групп. Современная алгебра как раз берет начало с
этой теории Галуа.
Во второй половине XIX века Феликс Клейн
положил группы в основу классификации различных геометрий и тем самым
ответил на старый вопрос о роли 5-го постулата (о параллельных прямых) в
аксиоматике геометрии Евклида. Клейн дал определение геометрии как науки,
изучающей свойства фигур, инвариантных относительно заданной группы
преобразований. Примерно в то же время норвежский математик Софус Ли,
пытаясь перенести теорию Галуа на дифференциальные уравнения, создает теорию
групп и алгебр Ли, играющую в настоящее время огромную роль в математике и
физике.
Применение теории групп в физике связано прежде
всего с фундаментальным принципом, согласно которому физический закон должен
быть инвариантен (т. е. неизменен) в любой инерциальной системе и,
следовательно, сохранять свою форму при всех преобразованиях четырехмерного
пространства-времени, переводящих инерциальные системы в инерциальные,
которые составляют группу. Так, Х. А. Лоренц простой подстановкой выявил,
что дифференциальные уравнения Максвелла для электромагнитного поля не
инвариантны относительно классических преобразований Галилея и нашел группу
всех преобразований, при которых эти уравнения остаются инвариантными. Эта
группа теперь называется группой Лоренца. Открытие Лоренца привело к
созданию Альбертом Эйнштейном специальной теории относительности и в
конечном итоге к революции в физике.
Современное абстрактное понятие группы
появилось только в конце XIX в. (А. Кэли, Г. Фробениус, В. Дик и др.).
Понадобилась работа нескольких поколений математиков, занявшая около 100
лет, прежде чем идея группы выкристаллизовалась с сегодняшней ясностью. Это
был один из самых ранних примеров абстрактной алгебраической системы. Он
послужил во многих отношениях образцом при перестройке других областей
алгебры и всей математики на рубеже XIX– XX веков.
В наше время роль теории групп еще более
возросла. В связи с всеобщей информатизацией период доминирования
непрерывной математики в значительной мере сменился периодом преобладания
дискретной математики. В результате расширились и приложения теории групп:
комбинаторика, теория конечных геометрий, теория графов, теория кодирования,
теория сложности вычислений, криптография и т.д.
Последний яркий пример применения теории групп
– модная ныне теория «monstrous moonshine» (фантазии на тему монстра).
Оказалось, что свойства самой большой из простых конечных спорадических
групп, так называемого «Монстра» (или «Дружественного гиганта»),
непостижимым образом связаны как с традиционными областями чистой математики
(алгебры Ли, модулярные функции), так и с некоторыми самыми современными
направлениями теоретической физики (теория вершинных операторов).
Один из важнейших математических результатов XX
века — завершение классификации конечных простых групп. В ее создании
участвовали сотни математиков из разных стран мира, в том числе и российские
научные коллективы: уральские ученые во главе с А.И. Старостиным,
новосибирские математики во главе с В.Д. Мазуровым, а также красноярские и
московские ученые. В настоящий момент подготовлено восемь томов этой
классификации, которые постепенно издаются Американским математическим
обществом. В постклассификационный период важной задачей становится
систематическое изучение свойств простых конечных групп. Этим я и занимаюсь.
…Как сказано в представлении к академической
награде, А.С. Кондратьев предложил новый подход к фундаментальной проблеме
теории модулярных представлений — нахождению матриц разложения конечной
группы — и вычислил матрицы разложения для целого ряда конкретных
квазипростых групп. Конкретные результаты вошли в известный атлас брауэровых
характеров.
Он также существенно продвинулся в решении
классической задачи описания конечных линейных групп малых размерностей над
полями. Это описание применяется при изучении максимальных подгрупп в
конечных группах с простым цоколем, а также в различных задачах
алгебраической комбинаторики. Совместно с А.Е. Залесским лауреат успешно
применил полученное описание к изучению линейных групп над кольцами вычетов,
что открывает новый аспект упомянутой классической задачи и тесно связано с
важной проблемой исследования групп автоморфизмов гомоциклических p-групп.
Совместно с В.И. Трофимовым он доказал
усиленную версию известной гипотезы Симса о конечных примитивных группах
подстановок. Этот весьма общий результат связан с изучением рядов взаимных
ядер пересечений сопряженных максимальных подгрупп в конечной группе.
А.С. Кондратьев также завершил описание связных
компонент графа простых чисел для всех конечных простых групп. Этот
результат послужил основой нового направления в теории конечных групп —
исследования конечных групп по множеству порядков элементов. Совместно с
В.Д. Мазуровым он охарактеризовал знакопеременные группы нечетных простых
степеней множеством порядков элементов, а совместно со своей аспиранткой
О.А. Алексеевой доказал квазираспознаваемость по множеству порядков
элементов всех, кроме A6 , конечных простых групп, граф простых чисел
которых имеет по крайней мере три компоненты связности, а также конечных
простых групп 3D4(q) и F4(q).
Cовместно с В.Д. Мазуровым он решил известную
проблему Д. Горенстейна об описании 2-сигнализаторов во всех конечных
простых группах.
Недавно А.С. Кондратьев завершил полное
описание нормализаторов силовских 2-подгрупп во всех конечных простых
группах. Это описание существенно обобщает известные результаты Ф. Холла, Р.
Картера и П. Фонга о нормализаторах силовских 2-подгрупп в конечных
симметрических и расширенных классических группах.
Задаю Анатолию Семеновичу вопрос, часто
возникающий в разговоре с учеными:
— Может ли сегодня математик работать один,
как, например, Галуа в девятнадцатом столетии?
— В наше время крупные единоличные результаты
встречаются очень редко. Ученый не может работать без ссылок на других
авторов, почти всегда использует чьи-то идеи и результаты. Да и задачи,
которые стоят перед современными математиками, одному человеку просто не под
силу. Взять хотя бы классификацию конечных простых групп, о которой я уже
говорил. Ее создавали буквально всем миром.
Я тесно сотрудничаю с коллегами из Института
математики Сибирского отделения РАН, где академик А.И. Мальцев создал свою
научную школу, с зав. отделом алгебры этого института членом-корреспондентом
В.Д. Мазуровым у нас несколько совместных статей.
Конечно, способ работы у каждого свой. Кому-то
идеи приходят в процессе обсуждения с коллегами, кто-то обдумывает проблему
один. Я принадлежу к числу последних, мне лучше думается в уединении, когда
можно полностью отрешиться от посторонних мыслей и сосредоточиться на поиске
решения.
|
16.04.07