Член-корреспондент РАН С.В. Матвеев:
"Люблю учиться и учить"

Совмещение научных занятий с преподаванием — обычная практика для многих сотрудников Института математики и механики УрО РАН. Член-корреспондент РАН С.В. Матвеев сочетает в себе ученого и преподавателя, пожалуй, самым гармоничным образом: он возглавляет отдел алгоритмической топологии ИММ, который в расположен в Челябинском государственном университете и вместе с кафедрой компьютерной топологии и алгебры ЧелГУ (ей также заведует Сергей Владимирович) и лабораторией алгоритмической геометрии составляет единый учебно-научный комплекс.
 

С.В. Матвеев — известный специалист в области топологии многообразий, автор более 60 публикаций, в том числе 9 монографий. Он получил ряд важных результатов в маломерной топологии, в частности, построил теорию сложности трехмерных многообразий и доказал теорему классификации многообразий Хакена. Челябинский ученый создал первую в России школу алгоритмической топологии, в 1996, 1999 и 2006 годах провел в Челябинске международные конференции по маломерной топологии и комбинаторной теории групп, был одним из организаторов международной конференции в Математическом институте г. Беркли (США).


 

   — Сергей Владимирович, как вы стали математиком?

   — В 1963 году, после победы на всероссийской математической олимпиаде меня приняли в физико-математическую школу (ФМШ) при МГУ (первый прием). Воспоминания о ФМШ самые хорошие. Как всегда, у истоков стояли энтузиасты, все учителя и воспитатели были личностями. В олимпиадах я участвовал и позже, но без особых успехов. Желание пропало — все же в них много от игры и спорта. Поступил на физико-математический факультет МГУ, одновременно преподавал в той же ФМШ. К концу обучения понял, что люблю учиться и учить. Поэтому решил стать и преподавателем, и ученым, поскольку они всегда учатся сами и учат других. Этим и занимаюсь до сих пор.

   Мой первый научный результат был «подарен» моим руководителем А.В. Чернавским. Он дал мне задачу по вложениям многообразий, решение которой заведомо знал. А я не знал, поэтому решал задачу и писал статью долго — приходилось разбираться с незнакомыми понятиями, а каждое тянуло за собой цепочку новых. Больше в этой области я ничего толкового не сделал, но в «благодарность» А.В. Чернавскому обнаружил ошибку в одном из его доказательств.
 

Тему для кандидатской диссертации я нашел сам — обобщение на многомерный случай теоремы Каслера о специальных спайнах (по-русски — «хребтах») трехмерных многообразий. Главная трудность была в том, чтобы понять, что такое многомерный спайн. После этого основные результаты (что любое n-мерное многообразие имеет (n-1)-мерный спайн и что при n>3 любой (n-1)–мерный спайн утолщается до n-мерного многообразия) были получены сравнительно легко. Правда, до второго результата я додумался не сразу, поскольку при n=3 он не верен. На этом примере я первый раз почувствовал, почему в многомерном пространстве работать легче — больше свободы. Еще добавил приложение, содержащее таблицу самых простых многообразий. Программу перечисления написал (по моему алгоритму), отладил и прогнал мой друг В.В. Савватеев, который заведовал в секретной организации сразу двумя вычислительными машинами. Машины работали попеременно: когда одна следила за спутниками, вторая гоняла тесты, и наоборот. Защитился без проблем. Впоследствии выяснилось, что спайны многомерных многообразий заняли достойное место в топологии. Сложная теорема из второй части диссертации оказалась никому не нужна, а несложная вместе с приложением вошла в число самых первых результатов нового раздела математики — компьютерной топологии трехмерных многообразий.
 

— Как вы попали на Урал?
 

— Моя аспирантура была целевой, поэтому пришлось ехать по распределению в Челябинск. Я не возражал, поскольку сам был из Башкирии, а моя жена Любовь Васильевна Матвеева — из Челябинска. Начинал я в Челябинском политехническом институте, в те времена ведущем вузе Челябинска. Лекции (10 часов в неделю), семинары (еще 10) и подготовка к ним (все читал по первому разу) съедали все силы, науку пришлось временно отставить. Сохранил только реферирование статей для РЖ «Математика». Появилось представление об основных тенденциях развития топологии и понимание, что такое хорошая статья как по содержанию, так и по стилю.
 

В ЧелГУ я перешел после его открытия в 1977 году. Работать стало интереснее, в основном из-за студентов. Первый набор и несколько следующих были очень сильными. Такое явление (высокий уровень первых наборов) часто наблюдается при открытии новых университетов, школ, факультетов, специальностей и объясняется, по-видимому, энтузиазмом всех участвующих сторон.
 

— Помогало ли общение с молодежью в научной работе?
 

— Рассказывая студентам об узлах, я с удивлением обнаружил, что не знаю простого доказательства, почему нетривиальные узлы существуют. Нашел простой аргумент, связанный с допустимыми трехцветными раскрасками проекции узла: число допустимых раскрасок является инвариантом узла и поэтому способно распознавать нетривиальность. Мысль о том, что можно рассматривать и многоцветные раскраски, пришла не сразу. С опытом такие обобщения возникают автоматически. Ключевое значение имел вопрос, какие раскраски считать допустимыми. Правильный ответ искал долго. В результате пришел к классу чрезвычайно важных алгебраических объектов, которые назвал дистрибутивными группоидами. Оказалось, что построенный по данной проекции дистрибутивный группоид является полным инвариантом узла. Другими словами, два узла одинаковы тогда и только тогда, когда отвечающие им группоиды изоморфны. Это полностью решает очень старую проблему о характеризации узла в алгебраических терминах. Я сделал доклад на семинаре М.М. Постникова в МГУ. Общее мнение (и мое тоже) было таково: результат хороший. Рекомендовали опубликовать в журнале «Математический сборник». Однако результат оказался не просто хорошим, а превосходным, одним из тех, которые лежат в основе и определяют развитие целых разделов математики. После опубликования его подхватили, расширили, применили к решению различных задач, в том числе к автоморфным формам и многомерным узлам. А я из-за загруженности, неопытности и изолированности промедлил с развитием этого направления и отстал, хотя на мою статью ссылаются до сих пор. Тем не менее и доклад, и статья повлияли на меня положительно. Я почувствовал свою силу и способность делать открытия.
 

Другой сильный результат, предвосхитивший появление инвариантов конечного типа для гомологических сфер, был получен тоже благодаря студентам. Объясняя, как одну сферу можно преобразовать в другую, я заметил, что этот способ универсален. Правда, получить доказательство было нелегко. К сожалению, по разным причинам я забросил эту тему и тем самым прошел мимо важного открытия. Тем не менее лет через пять статью заметили и стали на нее ссылаться по поводу инвариантов конечного типа.
 

— Какая из этих работ легла в основу вашей докторской диссертации?
 

— Любая из них вполне тянула на хорошую докторскую, но я решил продолжить исследование хребтов трехмерных многообразий. Конкретную проблему нашел не сразу, хотя ответ лежал на поверхности: нужно изучать преобразования хребтов. Это общее правило: изучая некий класс объектов, вы должны изучать их преобразования. Немного поработав с хребтами, я понял, какой должна быть основная теорема: любые два хребта одного и того же многообразия всегда связаны цепочкой однотипных локальных преобразований. Позднее эти преобразования стали называть преобразованиями Матвеева. С доказательством пришлось повозиться, а еще больше — с поиском приложений. Автор результата обязан уметь отвечать на вопрос, зачем этот результат нужен. Здесь мне повезло, нашел очень убедительное следствие. Оказалось, что одна классическая гипотеза (гипотеза Зимана) эквивалентна объединению двух других классических гипотез (гипотезы Пуанкаре, которая в настоящее время считается решенной, и гипотезы Эндрюса-Кертиса). Все это составило содержание первой, абстрактно-теоретической, главы диссертации. Далее я написал вторую главу с более живым, конкретным содержанием и приложение с результатами компьютерных экспериментов.
 

В своей работе со спайнами я все время использовал число вершин спайна, никак специально это число не называя. Здесь мне сильно помог Анатолий Тимофеевич Фоменко, предложив назвать его «сложностью», а всю вторую главу — теорией сложности. Выбор правильного названия весьма важен. Например, локальная классификация особенностей дифференцируемых отображений стала чрезвычайно популярной после того, как автор Р. Том назвал ее «Теория катастроф».
 

После довольно кропотливой работы удалось теоретически доказать интересный факт, замеченный при анализе результатов компьютерных экспериментов: все замкнутые многообразия сложности 8 и меньше относятся к хорошо и полностью классифицированному классу граф-многообразий Вальдхаузена и поэтому не могут быть гиперболическими. В процессе доказательства появилось ясное понимание, каким должно быть самое простое (т.е. первое по сложности) гиперболическое многообразие. Построение этого многообразия и вычисление его гиперболического объема заняли около двух месяцев. Результаты были ошеломляющими. С одной стороны, сложность оказалась действительно минимальной (равной 9), а его объем 0,94272 оказался меньше всех объемов, известных в то время. В настоящее время гипотеза о минимальности этого обема полностью доказана. С другой стороны, в результате обсуждений с А.Т.Фоменко обнаружились важные для приложений тесные связи с механикой (теорией интегрируемых гамильтоновых систем). По этим результатам мы сделали совместный пленарный доклад на престижной международной конференции, а наша большая статья была представлена академиком С.П. Новиковым в журнал «Успехи математических наук» и вскоре опубликована. Немного позднее весьма лестную статью по этому поводу поместил знаменитый журнал «Nature», специализирующийся на популярном освещении важнейших открытий во всех областях науки.
 

— Чем вы занялись после защиты докторской?
 

— Давно мечтал понять доказательство теоремы алгоритмической классификации так называемых достаточно больших трехмерных многообразий. Ею занималась большая группа известных математиков из Германии. Я был знаком с их идеями по обзорным статьям, которые стали периодически появляться после 1976 года, когда было объявлено о решении проблемы. Как всегда, сначала попытался найти доказательство сам, но безнадежно застрял, так как упомянутых идей явно не хватало. Тогда обратился к книгам, статьям, словом, начал форменное расследование. В результате пришел к выводу, что полного текста доказательства не существует. Опубликованы только обзорные статьи, в которых излагается идейная схема доказательства. Все они содержат один и тот же принципиальный пробел: половина случаев осталась без рассмотрения. Более того, с помощью использованных идей и инструментов этот пробел ликвидировать нельзя. Это скандал — более 20 лет математики опирались на недоказанную теорему! Мне удалось найти новый подход, основанный на теории В. Торстона и на понятии растягивающего множителя гомеоморфизма. В серии статей и изданной известным издательством «Шпрингер» монографии я опубликовал полное доказательство, тем самым завершив решение давно стоящей проблемы. В этом году вышел русскоязычный вариант монографии, а в будущем появится второе издание англоязычного.
 

— Как вас приняли в академической среде Урала?
 

— Связи с Институтом математики и механики УрО РАН завязались давно. И Николай Николаевич Красовский, и Юрий Сергеевич Осипов приглашали меня сделать доклады в ИММ. В 1997 году я был избран членом-корреспондентом РАН. При встрече тогдашний директор ИММ А.Ф.Сидоров предложил мне организовать и возглавить отдел алгоритмической топологии. Это очень перспективное направление, поскольку создание эффективного алгоритма для решения сложной задачи всегда является правильно поставленной математической проблемой. Я с большим удовольствием бывал в институте, наслаждался его научной атмосферой и общением с коллегами и, конечно, был рад стать его сотрудником. Однако корни, пущенные в ЧелГУ, оказались слишком крепкими. Поэтому отдел алгоритмической топологии ИММ был организован при ЧелГУ и с тех пор успешно функционирует.
 

— Ваши дальнейшие планы?
 

— Заниматься наукой. В первую очередь надо закончить работу над большим пакетом программ для работы с трехмерными многообразиями — «Распознавателем многообразий». Первые применения «Распознавателя» показали, что в этой области мы намного впереди зарубежных коллег. Нужно срочно проводить большие компьютерные эксперименты, анализировать их результаты, писать статьи. В то же время надо успевать следить за новыми открытиями в математике, которая сейчас развивается особенно бурно.
 

Подготовила
Е. ПОНИЗОВКИНА
Фото С. НОВИКОВА
 

От редакции: 5 декабря члену-корреспонденту РАН С.В. Матвееву исполняется 60 лет. Президиум Уральского отделения РАН, коллектив Института математики и механики УрО РАН и редакция «НУ» сердечно поздравляют Сергея Владимировича с юбилеем и желают крепкого здоровья и новых творческих достижений.