Прозрачная логика субботинских дней

22 — 26 июня Уральское отделение РАН, Институт математики и механики УрО РАН и Уральский государственный университет им. А.М. Горького провели под Екатеринбургом международный семинар «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби», посвященный 60-летию академика А.И. Субботина. Около 130 ученых из России, США, Турции, Польши, Португалии собрались в санатории «Зеленый мыс» на берегу Верх-Нейвинского пруда, чтобы обсудить актуальные проблемы одного из самых динамичных разделов современной математики и почтить память выдающегося российского ученого, внесшего фундаментальный вклад в его развитие. В форуме приняли участие корифеи отечественной науки: академики Н.Н. Красовский, А.Б. Куржанский, Ф.Л. Черноусько, А.М. Ильин, члены- корреспонденты РАН В.И. Бердышев, С.Н. Васильев, А.В. Кряжимский, А.А. Меликян, В.Е. Третьяков, А.Г. Ченцов, видные зарубежные ученые Т. Башар, П. Кокотович, Ф. Перейра, С. Плацкач. Участников семинара приветствовали ректор Уральского госуниверситета член-корреспондент В.Е. Третьяков, главный ученый секретарь Уральского отделения РАН член-корреспондент Е.П. Романов, и.о. главы Екатеринбурга В.Н. Смирнов.


 

   Вечер 22 июня был целиком посвящен воспоминаниям об Андрее Измайловиче Субботине. Казалось, он незримо присутствует в зале, настолько тепло и образно говорили о нем коллеги и ученики. Его учитель академик Николай Николаевич Красовский назвал Субботина образцом ученого, поскольку ему было присуще постоянное стремление к самосовершенствованию, его вел девиз «вперед и вверх». По словам академика А.Б. Куржанского, в работах Андрея Измайловича поражала их «прозрачная логика». Академик Ф.Л. Черноусько говорил о его умении просто и точно объяснять сложные научные и ненаучные вопросы. Он тонко чувствовал собеседника, легко переключался на разные регистры, и беседа с ним всегда оставляла добрый след. Воспоминаниями о А.И. Субботине поделились академик А.М. Ильин, профессор В.Д. Батухтин.
   Один из мировых лидеров теории оптимального управления профессор Т. Башар (США) отметил, что работы академика А.И. Субботина по теории дифференциальных игр, оптимального управления и по уравнениям в частных производных являются ключевыми, они широко известны в западном научном мире. Т. Башар был одним из основателей и первым президентом Международного сообщества по динамическим играм, членом которого состоял Андрей Измайлович. В 4-м томе Анналов сообщества «Стохастические и дифференциальные игры. Теория и численные методы» была опубликована одна из его последних статей. Профессор Т. Башар, главный редактор этой серии Анналов, рассказал, что известие о смерти Субботина пришло, когда том сдавался в печать. Международное сообщество по динамическим играм посвятило этот том и свой VIII симпозиум в Маастрихте (Нидерланды) его памяти.

Директор Института математики и механики УрО РАН член-корреспондент В.И. Бердышев назвал спонсоров семинара: Российский фонд фундаментальных исследований, банк «Екатеринбург», «Свердлсоцбанк», математико-механический факультет УрГУ и его отделение внебюджетного и дистантного заочного обучения, Челябинский госуниверситет, Удмуртский госуниверситет, ОКБ «Новатор», научно-производственный центр «Halmer-U», факультет информационно-математических технологий и экономического моделирования и кафедра прикладной математики теплоэнергетического факультета УГТУ – УПИ, Государственный целевой фонд высшей школы Свердловской области, Гуманитарный университет. Как отметил декан матмеха УрГУ, доктор физико-математических наук М.О. Асанов, факультет стал спонсором семинара прежде всего в том смысле, что среди его участников — множество выпускников матмеха. К их числу, конечно же, принадлежал и Андрей Измайлович Субботин, которым университет гордится.

23 июня семинар открыл пленарный доклад академика А.Б. Куржанского, посвященный актуальным задачам современной теории оптимального управления: динамике и контролю гибридных систем. В отличие от классической теории, в этих задачах изучаются свойства систем, динамика которых меняется при изменении внешних условий. Как отметил Александр Борисович, в свое время появление теории управления было мотивировано практическими потребностями, а сейчас перед ней стоят новые, более сложные прикладные задачи: обеспечение безопасности гражданской авиации, подводного и водного транспорта, управление автомобилями без водителя, беспилотными самолетами и вертолетами, к примеру, при тушении лесных пожаров. Для решения этих задач необходимо учитывать факторы перестройки динамики при различных фазовых ограничениях.

Академик Н.Н. Красовский назвал свой доклад «Этика и эстетика в научной работе А.И. Субботина» не слишком научным. Однако ему удалось создать живой, объемный образ выдающегося ученого. Когда еще студентом Субботин доложил о своей первой работе на кафедре прикладной математики, выполненной под руководством Э.Г. Альбрехта, всех поразила его четкая логика, точность формулировок при постановке задач и полная уверенность в себе. Николай Николаевич предложил ему заняться теорией дифференциальных игр, в частности серией задач сближения и уклонения. Вскоре проявилась удивительная интуиция молодого ученого, благодаря которой он улавливал возможные сложности при решении той или иной проблемы и находил пути их преодоления.

Знаменательным фактом научной биографии Андрея Измайловича стало доказательство совместно с Н.Н. Барабановой (впоследствии Субботиной) одной, по выражению Николая Николаевича, очень элегантной теоремы, согласно которой существуют весьма типичные ситуации, когда игровая задача о сближении и уклонении не формализуется и не имеет решения в классе непрерывных стратегий. Решение существует только среди разрывных позиционных стратегий. Причем, рассказывая об этом, Андрей Измайлович как бы извинялся за непрерывные стратегии, т.е. за то, что они в результате их с Ниной Николаевной изысканий оказались не такими идеальными, как представлялось ранее.               

Следующий шаг — создание теоремы об альтернативе для позиционной дифференциальной игры и построение разрешающих экстремальных позиционных стратегий. Тогда сложилась интересная ситуация. Академик Л.С. Понтрягин высказывался пессимистически относительно того, можно ли формализовать дифференциальную игру в рамках позиционных стратегий, где управление каждого из игроков строится по принципу обратной связи, т.е. опирается лишь на знание текущего состояния (позиции) управляемой системы и не использует знание будущего поведения противника хотя бы на очень малом промежутке времени. На семинаре у Льва Семеновича Субботин доложил о созданной под руководством Н.Н. Красовского концепции позиционной дифференциальной игры, которая в общем-то шла вразрез с теорией Понтрягина. Однако у присутствовавших сложилось впечатление, что молодой уральский математик вроде бы убедил мэтра в возможности такой постановки задачи. Все сомнения рассеялись, когда тот позвонил сам с предложением обсудить вопрос более подробно. На следующий день они встретились, проговорили больше четырех часов и расстались очень довольные друг другом. Л.С. Понтрягин предложил дать Андрею Измайловичу премию для молодых ученых РАН, и он ее получил.

Один из принципов академика Субботина: если что-то узнал или хорошо понял, надо поделиться, сделать достоянием всех. Он щедро делился своими знаниями и идеями с коллегами и сотрудниками. Вокруг него всегда было много молодых людей, которым он поручал решать интересные и актуальные задачи. Он умел бескорыстно радоваться за коллегу. Когда А.В. Кряжимский решил одну сложную задачку, которой занимался и сам Андрей Измайлович, надо было слышать и видеть, с каким восторгом он говорил об этом успехе.

Еще одно его качество — честность перед самим собой. Так, в определенный момент он почувствовал, что наступает некий кризис идей в теории дифференциальных игр и надо делать решительные шаги. Так зародилась теория минимаксных решений уравнений в частных производных. Однако Субботин воздержался от каких-либо деклараций, пока его концепция не была тщательно отшлифована.

Нельзя не упомянуть и о гибкости мышления Субботина. Если сначала он был сторонником использования аппарата классического математического анализа, основанного на понятиях непрерывности, дифференцируемости, гладкости, то впоследствии основными инструментами его исследований стали конструкции и методы негладкого анализа.

Когда на Западе появилась теория вязкостных решений, Андрей Измайлович как автор минимаксных решений не стал доказывать, что последние тем-то и тем-то лучше. Он просто описал их свойства, предоставляя читателю судить о преимуществах тех и других, а впоследствии и доказал эквивалентность этих разных по форме концепций.                

Сегодня ясно: то, что сделал академик Субботин, — это огромное научное достижение, которое останется на все времена, заключил свой доклад Н.Н. Красовский.                 

Далее семинар проходил в рамках секций. Их было пять: «Обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби», «Управление динамическими системами в условиях конфликта и неопределенности», «Задачи оценивания и идентификации в динамических системах», «Обратные задачи и управляемые распределенные системы», «Численные алгоритмы решения задач оптимального управления и краевых задач для уравнений Гамильтона-Якоби».

Были прочитаны также пленарные доклады: «Безрисковый дизайн в задачах идентификации и фильтрации: от экспоненциальной платы к дифференциальным играм» (профессор Т. Башар, Иллинойс, США); «Несеквенциальные конструкции приближенных решений в абстрактных задачах управления» (член-корреспондент РАН А.Г. Ченцов, ИММ УрО РАН, Екатеринбург); «Недавние приложения конструктивного нелинейного управления» (профессор П. Кокотович, Калифорния, США); «Сингулярные характеристики в граничных условиях уравнения Гамильтона-Якоби» (член-корреспондент РАН А.А. Меликян, ИПМ РАН, Москва); «Оптимальное движение тела, управляемого внутренними массами» (академик Ф.Л. Черноусько, ИПМ РАН, Москва); «Математические модели навигации по геофизическим полям.» (член-корреспондент РАН В.И. Бердышев, кандидат физ.-мат. наук В.Б. Костоусов, ИММ УрО РАН, ОКБ «Новатор», Екатеринбург ); «Асимптотическая управляемость и стабилизация нелинейных управляемых систем с постоянно действующими возмущениями» (доктор физ.-мат. наук, профессор Ю.С. Ледяев, Математический институт им. Стеклова, Москва; Мичиган, США); «Гармонические всплески и их применение при решении краевых задач Дирихле и Пуассона» (член-корреспондент РАН Ю.Н. Субботин, доктор физ.-мат. наук Н.И. Черных, ИММ УрО РАН Екатеринбург).                 

26 июня семинар завершили пленарные доклады члена-корреспондента РАН А.В. Кряжимского совместно с доктором физико-математических наук, профессором В.И. Максимовым «Стабилизация динамических систем с неизвестной правой частью» и доктора физико-математических наук, профессора В.Н. Ушакова «О решении некоторых игровых задач управления на конечном промежутке времени».

Конечно, дать обзор представленных докладов способен только специалист, а я приведу лишь общие сведения из истории проблем, обсуждавшихся на семинаре. Интерес к уравнениям Гамильтона-Якоби возник еще в XVII — XVIII веках на заре становления дифференциального исчисления. Они использовались при решении задач механики, в задачах геометрической оптики и т.д. В 50-е – 70-е годы XX века исследованиями обобщенных решений уравнений в частных производных занимались такие выдающиеся математики, как Н.С. Бахвалов, Л. Эванс, У. Флеминг, И.М. Гельфанд, С.К. Годунов, Э. Хопф, О.А. Ладыженская, П. Лакс, О.А. Олейник, Б.Л. Рождественский, А.А. Самарский, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов и др. При этом использовались интегральные методы и концепции, основанные на технике интегрирования. В 70-е годы появился новый математический аппарат негладкого анализа, использующий различные обобщения понятия дифференцируемости. Это открыло новые возможности и привело к созданию новых подходов к изучению обобщенных решений.

На рубеже 70-х и 80-х годов А.И. Субботин предложил концепцию и начал создание теории минимаксных решений. Понятие обобщенного, минимаксного решения опирается на идею релаксации и обобщения классического метода характеристик Коши. Концепция минимаксного решения имеет свои истоки в теории позиционных дифференциальных игр, развитой в школе Н.Н. Красовского и базирующейся на минимаксных оценках и операциях.

В начале 80-х годов М. Крандалл и П. Лионс ввели понятие вязкостного решения, существование которого доказывалось с помощью метода исчезающей вязкости. В рамках этой теории, имеющей многочисленных последователей, доказаны теоремы существования и единственности для различных типов уравнений первого порядка, эллиптических и параболических уравнений и различных типов краевых задач. Другая известная концепция обобщенного решения на базе идемпотентного анализа была предложена в работах академика В.П. Маслова и его учеников. С помощью этого подхода исследуются уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана и их приложения к задачам математической физики.               

В рамках теории минимаксных решений доказаны теоремы существования и единственности, корректности и содержательности понятия минимаксного решения для различных типов краевых задач уравнений в частных производных первого порядка и квазилинейных параболических уравнений, а также нетривиальный факт эквивалентности понятий минимаксного и вязкостного решений уравнения в частных производных первого порядка. Полученные результаты находят широкое применение при исследовании и решении задач оптимального управления и дифференциальных игр, поскольку функция цены в этих задачах совпадает с единственным минимаксным решением уравнения Гамильтона-Якоби-Айзекса.

Вот простой пример задачи оптимального управления для движущейся системы. У нас есть автомобиль, заправленный определенным количеством бензина. Он должен попасть из точки А в точку В. При этом качество управления автомобилем можно оценивать с помощью различных критериев в зависимости от того, какую из задач мы себе поставим:

1) перемещаться, затрачивая наименьшее количество бензина;

2) добраться до точки В за кратчайшее время;

3) обойти еще несколько точек на трассе наикратчайшим путем.

Или, к примеру, известно, что на участок побережья в определенный момент времени обрушится цунами, и нужно разработать оптимальный план эвакуации находящихся там людей. При этом мы не всегда владеем полной информацией, допустим, не можем точно измерить либо расстояние, либо скорость, либо местонахождение объекта. Нужно построить законы управления, нечувствительные к погрешностям измерения и позволяющие добиться оптимального результата при неполной информации.

Все это задачи динамической оптимизации. Подобные задачи возникают в различных областях: в механике, в экономике, в биологии, когда надо управлять динамической системой так, чтобы оптимизировать выбранный критерий качества. Функцией цены в этих задачах называется функция значений оптимального результата для каждой начальной точки А. Функция цены является обобщенным решением уравнения Гамильтона-Якоби, и известные конструкции оптимальных позиционных законов управления используют функцию цены.

Об этом очень просто и понятно рассказала мне Нина Николаевна Субботина, зам. председателя национального оргкомитета семинара, доктор физико-математических наук ученица, коллега и супруга А.И. Субботина. Окончив матмех УрГУ с красным дипломом, она поступила на работу в Свердловское отделение Математического института им. Стеклова, в отдел Н.Н. Красовского, где работали А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов и Андрей Измайлович Субботин, которого ей определили в научные руководители. Вскоре они стали мужем и женой. Как уже говорилось, у них много совместных работ, и сейчас Нина Николаевна продолжает разрабатывать теорию минимаксных решений для новых типов краевых задач и новых типов уравнений в частных производных.
 

***
 

По общему мнению, семинар удался во всех отношениях. Его участники не только делились научными идеями, но и обсуждали, особенно по вечерам, самые разные проблемы — от мировых до житейских. При одном таком полуночном разговоре с участием А.Б. Куржанского, В.Н. Ушакова, М. О. Асанова и других автору этих строк довелось присутствовать. Речь шла о перспективах цивилизации, о новых технических возможностях и об истории человечества, в том числе о ее «новой» трактовке в известной книге академика А.Т. Фоменко, с которой, впрочем, большинство его коллег-математиков не согласны.

В свободные часы, несмотря на то, что не повезло с погодой, ученые гуляли вдоль Верх-Нейвинского пруда, любовались его лесистыми берегами, дышали чистым воздухом. Ездили на экскурсию в Невьянск смотреть нашу уральскую «падающую» башню — младшую сестру Пизанской. Но, конечно, главный итог нынешнего июньского форума — это плодотворная работа. Его участники надеются, что семинар памяти Андрея Измайловича Субботина станет традиционным.
 

Е. ПОНИЗОВКИНА
 

Члены-корреспонденты РАН Е.П. Романов, В.Е. Третьяков, В.И. Бердышев.


Н.Н. Субботина и Н.Н. Красовский.


М.О. Асанов (слева), А.Б. Куржанский (справа).


Верх-Нейвинский пруд.