Красота и целесообразность теории групп

В конце минувшего года зав. сектором отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН доктор физико-математических наук А.С. Кондратьев был награжден премией Российской академии наук имени академика А.И. Мальцева за цикл работ по теории конечных групп и их представлений. Анатолий Иванович Мальцев — выдающийся российский математик, ученик академика А.Н. Колмогорова, специалист в области современной алгебры, математической логики и теории алгоритмов, создатель крупной школы алгебры и логики в Институте математики Сибирского отделения РАН. Премия имени А.И. Мальцева присуждается раз в три года, среди лауреатов — директор Института математики имени С.Л. Соболева СО РАН академик Ю.Л. Ершов, декан математического факультета Новосибирского государственного университета член-корреспондент С.С. Гончаров, доктора физико-математических наук В.П. Шунков (Красноярск), А.Ю. Ольшанский (Москва), А.В. Яковлев (Санкт-Петербург). Анатолий Семенович Кондратьев стал первым уральцем — лауреатом престижной академической награды.


 

   После окончания математико-механического факультета УрГУ (1970) и службы в армии Анатолий Кондратьев поступил в аспирантуру Института математики и механики к Альберту Ивановичу Старостину, руководителю его дипломной работы, вскоре защитил кандидатскую, в 1991 г. — докторскую. В 1999 г. он стал зав. сектором теории групп отдела алгебры и топологии ИММ. Одновременно А.С. Кондратьев — профессор кафедры алгебры и дискретной математики УрГУ, читает специальные курсы лекций, руководит аспирантами. Он автор более 100 научных работ, в том числе обзора «Подгруппы конечных групп Шевалле» («Успехи математических наук»), соавтор обзоров «Конечные группы»(«Итоги науки и техники») и «Силовские 2-подгруппы конечных групп» (препринт ИММ). Его результаты неоднократно входили в число лучших по Российской академии наук и по Уральскому отделению РАН.

   Мы попросили Анатолия Семеновича рассказать о том направлении современной алгебры, в котором он работает, — теории групп.

   — Группa — одна из основных абстрактных математических структур, которая имеет многочисленные приложения как в самой математике (в геометрии, теории функций, теории дифференциальных уравнений и др.), так и за ее пределами (в кристаллографии, в классической и квантовой механике, в теории элементарных частиц, в химии, в биологии и т.д.). Понятие группы отражает фундаментальное свойство вещей — симметрию и потому связано с такими понятиями, как целесообразность, соразмерность, оптимальность, совершенство, красота.
 

Стихийно группы применял еще Ж. Лагранж (1771). Систематическое изучение групп, в основном конечных, относится к началу XIX века. Это были группы подстановок корней алгебраических уравнений, или, как их теперь называют, группы Галуа. Именно Эварист Галуа (1830) заметил связь старинной проблемы о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах с вопросами о строении их групп. Современная алгебра как раз берет начало с этой теории Галуа.
 

Во второй половине XIX века Феликс Клейн положил группы в основу классификации различных геометрий и тем самым ответил на старый вопрос о роли 5-го постулата (о параллельных прямых) в аксиоматике геометрии Евклида. Клейн дал определение геометрии как науки, изучающей свойства фигур, инвариантных относительно заданной группы преобразований. Примерно в то же время норвежский математик Софус Ли, пытаясь перенести теорию Галуа на дифференциальные уравнения, создает теорию групп и алгебр Ли, играющую в настоящее время огромную роль в математике и физике.
 

Применение теории групп в физике связано прежде всего с фундаментальным принципом, согласно которому физический закон должен быть инвариантен (т. е. неизменен) в любой инерциальной системе и, следовательно, сохранять свою форму при всех преобразованиях четырехмерного пространства-времени, переводящих инерциальные системы в инерциальные, которые составляют группу. Так, Х. А. Лоренц простой подстановкой выявил, что дифференциальные уравнения Максвелла для электромагнитного поля не инвариантны относительно классических преобразований Галилея и нашел группу всех преобразований, при которых эти уравнения остаются инвариантными. Эта группа теперь называется группой Лоренца. Открытие Лоренца привело к созданию Альбертом Эйнштейном специальной теории относительности и в конечном итоге к революции в физике.
 

Современное абстрактное понятие группы появилось только в конце XIX в. (А. Кэли, Г. Фробениус, В. Дик и др.). Понадобилась работа нескольких поколений математиков, занявшая около 100 лет, прежде чем идея группы выкристаллизовалась с сегодняшней ясностью. Это был один из самых ранних примеров абстрактной алгебраической системы. Он послужил во многих отношениях образцом при перестройке других областей алгебры и всей математики на рубеже XIX– XX веков.
 

В наше время роль теории групп еще более возросла. В связи с всеобщей информатизацией период доминирования непрерывной математики в значительной мере сменился периодом преобладания дискретной математики. В результате расширились и приложения теории групп: комбинаторика, теория конечных геометрий, теория графов, теория кодирования, теория сложности вычислений, криптография и т.д.
 

Последний яркий пример применения теории групп – модная ныне теория «monstrous moonshine» (фантазии на тему монстра). Оказалось, что свойства самой большой из простых конечных спорадических групп, так называемого «Монстра» (или «Дружественного гиганта»), непостижимым образом связаны как с традиционными областями чистой математики (алгебры Ли, модулярные функции), так и с некоторыми самыми современными направлениями теоретической физики (теория вершинных операторов).
 

Один из важнейших математических результатов XX века — завершение классификации конечных простых групп. В ее создании участвовали сотни математиков из разных стран мира, в том числе и российские научные коллективы: уральские ученые во главе с А.И. Старостиным, новосибирские математики во главе с В.Д. Мазуровым, а также красноярские и московские ученые. В настоящий момент подготовлено восемь томов этой классификации, которые постепенно издаются Американским математическим обществом. В постклассификационный период важной задачей становится систематическое изучение свойств простых конечных групп. Этим я и занимаюсь.
 

…Как сказано в представлении к академической награде, А.С. Кондратьев предложил новый подход к фундаментальной проблеме теории модулярных представлений — нахождению матриц разложения конечной группы — и вычислил матрицы разложения для целого ряда конкретных квазипростых групп. Конкретные результаты вошли в известный атлас брауэровых характеров.
 

Он также существенно продвинулся в решении классической задачи описания конечных линейных групп малых размерностей над полями. Это описание применяется при изучении максимальных подгрупп в конечных группах с простым цоколем, а также в различных задачах алгебраической комбинаторики. Совместно с А.Е. Залесским лауреат успешно применил полученное описание к изучению линейных групп над кольцами вычетов, что открывает новый аспект упомянутой классической задачи и тесно связано с важной проблемой исследования групп автоморфизмов гомоциклических p-групп.
 

Совместно с В.И. Трофимовым он доказал усиленную версию известной гипотезы Симса о конечных примитивных группах подстановок. Этот весьма общий результат связан с изучением рядов взаимных ядер пересечений сопряженных максимальных подгрупп в конечной группе.
 

А.С. Кондратьев также завершил описание связных компонент графа простых чисел для всех конечных простых групп. Этот результат послужил основой нового направления в теории конечных групп — исследования конечных групп по множеству порядков элементов. Совместно с В.Д. Мазуровым он охарактеризовал знакопеременные группы нечетных простых степеней множеством порядков элементов, а совместно со своей аспиранткой О.А. Алексеевой доказал квазираспознаваемость по множеству порядков элементов всех, кроме A₆ , конечных простых групп, граф простых чисел которых имеет по крайней мере три компоненты связности, а также конечных простых групп ³D₄(q) и F₄(q).
 

Cовместно с В.Д. Мазуровым он решил известную проблему Д. Горенстейна об описании 2-сигнализаторов во всех конечных простых группах.
 

Недавно А.С. Кондратьев завершил полное описание нормализаторов силовских 2-подгрупп во всех конечных простых группах. Это описание существенно обобщает известные результаты Ф. Холла, Р. Картера и П. Фонга о нормализаторах силовских 2-подгрупп в конечных симметрических и расширенных классических группах.
 

Задаю Анатолию Семеновичу вопрос, часто возникающий в разговоре с учеными:
 

— Может ли сегодня математик работать один, как, например, Галуа в девятнадцатом столетии?
 

— В наше время крупные единоличные результаты встречаются очень редко. Ученый не может работать без ссылок на других авторов, почти всегда использует чьи-то идеи и результаты. Да и задачи, которые стоят перед современными математиками, одному человеку просто не под силу. Взять хотя бы классификацию конечных простых групп, о которой я уже говорил. Ее создавали буквально всем миром.
 

Я тесно сотрудничаю с коллегами из Института математики Сибирского отделения РАН, где академик А.И. Мальцев создал свою научную школу, с зав. отделом алгебры этого института членом-корреспондентом В.Д. Мазуровым у нас несколько совместных статей.
 

Конечно, способ работы у каждого свой. Кому-то идеи приходят в процессе обсуждения с коллегами, кто-то обдумывает проблему один. Я принадлежу к числу последних, мне лучше думается в уединении, когда можно полностью отрешиться от посторонних мыслей и сосредоточиться на поиске решения.
 

Подготовила Е. ПОНИЗОВКИНА