В поисках математического «золота»

Подобные прорывы в любой отрасли знания не происходят на пустом месте. Ученый обычно продолжает линию, идущую от его предшественников. Владимир Михайлович Бадков следовал линии великого российского математика Пафнутия Львовича Чебышева — одного из основоположников теории приближения функций. Поэтому предлагаю  совершить экскурс в историю ее создания.

Приближенные формулы вычисления различных функций или констант были известны с глубокой древности. Методы приближения функций использовал в своих расчетах французский математик и астроном Урбен Леверье, почти точно вычисливший положение на звездном небе неизвестной планеты Солнечной системы, возмущавшей движение Урана. И вскоре в указанной точке Галле обнаружил Нептун — так состоялось знаменитое открытие «на кончике пера». 

В середине XIX века Пафнутий Чебышев, тогда первокурсник Московского университета, заинтересовался проблемой повышения надежности паровых машин. В свое время для придания поршню машины прямолинейного движения Джеймс Уатт изобрел механизм, названный впоследствии его именем, — параллелограмм Уатта. Однако он был весьма несовершенен, не обеспечивал абсолютно прямолинейного движения поршня, и поэтому поршень быстро изнашивался. Сам Уатт, его современники и последующие поколения инженеров пытались решить эту проблему, но существенных результатов не добились. Чтобы разобраться в деле на месте, Чебышев попросил руководство Московского университета командировать его в Англию — на родину паровой машины. 

Молодой ученый задумался над тем, как подобрать параметры параллелограмма Уатта таким образом, чтобы уклонение штока поршня от прямой линии было минимальным. Траектория движения конца штока поршня, прикрепленного к одной из вершин параллелограмма Уатта, описывается нечетной функцией, вид которой определяется параметрами параллелограмма. Англичане подбирали их так, чтобы она представлялась отрезком ряда Тейлора пятой степени с нулевыми коэффициентами при младших степенях. А Чебышев взглянул на проблему по-другому. Он решил выбрать эти коэффициенты наилучшим образом для аппроксимации пятого члена ряда Тейлора и сумел сделать это. Так появился полином Чебышева 5-й степени. Благодаря расчетам российского ученого отклонение штока поршня от прямой уменьшилось в 16 раз! А придуманный способ решения этой задачи он развил далее в красивую теорию многочленов (с фиксированными старшими коэффициентами), наименее уклоняющихся на отрезке от нуля, открыв многие их замечательные свойства.

В дальнейшем П.Л. Чебышев стал разрабатывать общие методы наилучшего приближения функций. А понятие ортогональности (перпендикулярности) еще до него было распространено с векторов в трехмерном пространстве сначала на векторы в многомерном пространстве, а затем обобщено на ортогональность функций, которые можно рассматривать как векторы в бесконечномерном пространстве. Оказалось, что многочлены Чебышева разных степеней, наименее уклоняющиеся от нуля на отрезке [–1, –1], ортогональны между собой. Теорию ортогональных многочленов продолжили развивать ученики и последователи Чебышева, в частности знаменитые братья А.А. и В.А. Марковы и позже академики С.Н. Бернштейн и А.А. Гончар. 

А теперь переместимся в середину XX века. В 1962 году Сергей Борисович Стечкин, возглавивший только что созданное Свердловское отделение Математического института им. В.А. Стеклова, пригласил в Свердловск выпускника механико-математического факультета Одесского государственного университета Владимира Бадкова. Еще в Одессе Владимир Михайлович занимался дифференциальными уравнениями. В СОМИ он увлекся теорией ортогональных многочленов и их рядов. Кандидатскую диссертацию Бадков защитил под руководством профессора П.К. Суетина, который, кстати, использовал ортогональные многочлены в решении радиотехнических задач.

В избранной им области активно работали многие математики из России и разных стран, среди них такие известные исследователи, как Сеге, Геронимус, Суетин, Рахманов, Аптекарев, Гончар и другие. Часто по одним и тем же вопросам одновременно выходили независимые публикации. Результаты Бадкова, как правило, оказывались сильнее и глубже аналогичных результатов других (не только российских) математиков. В некоторых вопросах он продвинулся так далеко, что не все его понимали.  При исследовании аппроксимативных свойств ортогональных полиномов он изучал как самостоятельную задачу и поведение самих этих полиномов и их производных, причем часто в экстремальной постановке. Это стало темой его докторской диссертации. По словам его коллег, в нее не вошло еще множество замечательных результатов 1970-х — 1980-х годов, которые могли бы составить еще одну полноценную докторскую работу. 

Владимир Михайлович исследовал асимптотическое поведение многочленов Чебышева, порядок их роста на всем отрезке ортогональности. Свойство ортогональности многочленов определяется выбираемой весовой функцией,  в частности многочлены Чебышева ортогональны относительно веса Чебышева. А Бадков рассмотрел более общие весовые функции и показал, что если весовая функция несильно отличается от веса Чебышева (когда вес Чебышева домножается на положительную непрерывную функцию достаточно общего вида), то и нули соответствующих ортогональных многочленов несильно отличаются от нулей многочленов Чебышева. Причем он дал не только качественную, но и количественную оценку, существенно усилив результат академика С.Н. Бернштейна. Он создал единую теорию ортогональных с весом многочленов на окружности, на отрезке и ортогональных тригонометрических полиномов на периоде, в которой теория ортогональных многочленов на отрезке стала частным случаем.

В прошлом году В.М. Бадков послал статью «Асимптотические формулы для нулей ортогональных многочленов» в «Математический сборник», одним из основателей которого был Чебышев. В этом журнале есть правило: поступившие материалы сначала выставляются на сайте, там формируется рейтинг по числу просмотров и отзывов. Владимир Михайлович оказался в рейтинге «Математического сборника» на первом месте, хотя среди авторов этого журнала всегда присутствуют очень известные имена.  

Обо всем, что рассказано выше, я узнала от коллег и друзей Владимира Михайловича Бадкова: члена-корреспондента РАН Юрия Николаевича Субботина, докторов физико-математических наук Николая Ивановича Черных, Александра Григорьевича Бабенко и Николая Юрьевича Антонова. 

Я задала им вопрос о приложениях подобных математических результатов — вопрос, который мне самой казался  достаточно абсурдным. Впрочем, напрасно. Так, в творчестве Чебышева чистая математика и прикладные работы всегда были тесно связаны, он, например, принимал активное участие в работе артиллерийского ведомства и занимался усовершенствованием дальнобойности и точности артиллерийской стрельбы. 

Ортогональные многочлены сегодня широко используются для решения разнообразных задач, например, для восстановления зашумленной информации. В терминах ортогональных многочленов даются оценки оптимальных расположений заданного числа точек на сфере — а что это как не решение задачи о расположении на местности вышек операторов сотовой связи? Этот последний пример, пожалуй, докажет ценность фундаментального знания даже дилетанту.